Informal, ukuran memiliki sifat menjadi monoton dalam arti bahwa jika A adalah himpunan bagian dari B, ukuran A kurang dari atau sama dengan ukuran B. Selain itu, ukuran dari himpunan kosong diperlukan untuk 0 .
Dalam matematika, lebih khusus dalam teori ukuran, ukuran satu set adalah cara yang sistematis untuk menetapkan subset cocok untuk masing-masing nomor, secara intuitif ditafsirkan sebagai ukuran dari subset. Dalam pengertian ini, ukuran adalah generalisasi dari konsep panjang, luas, volume, dan sebagainya. Sebuah contoh penting adalah ukuran Léon Lebesgue pada ruang Euclides, yang memberikan panjang konvensional, area, dan volume geometri Euclidean untuk cocok subset dari Rn, n = 1,2,3 ,…. Misalnya, ukuran Léon Lebesgue [0,1] di bilangan real adalah sehari-hari panjang dalam arti kata, secara khusus 1.
Untuk memenuhi syarat sebagai ukuran (lihat Definisi di bawah), sebuah fungsi yang memberikan non-bilangan real negatif atau + ∞ untuk satu set’s subset harus memenuhi beberapa syarat. Salah satu syarat penting adalah Aditivitas dihitung. Kondisi ini menyatakan bahwa ukuran kesatuan menguraikan urutan himpunan bagian adalah sama dengan jumlah dari ukuran dari subset. Namun, secara umum tidak mungkin untuk secara konsisten mengaitkan ukuran untuk masing-masing subset dari suatu set dan juga memenuhi aksioma lain dari sebuah ukuran. Masalah ini dipecahkan dengan mendefinisikan mengukur hanya pada sub-koleksi semua himpunan bagian; yang subhimpunan yang ukuran harus didefinisikan disebut diukur dan mereka diharuskan untuk membentuk aljabar sigma, yang berarti bahwa serikat pekerja, persimpangan dan melengkapi urutan dari subset diukur diukur. Non-terukur set dalam ruang Euclides, di mana ukuran Léon Lebesgue tidak dapat didefinisikan secara konsisten, yang selalu rumit untuk titik tidak dapat dimengerti, dalam arti buruk bercampur dengan melengkapi mereka; memang, keberadaan mereka adalah non-sepele konsekuensi dari Aksioma pilihan.
Teori mengukur dikembangkan dalam tahap berturut-turut selama akhir abad 19 dan awal abad ke-20 oleh Emile Borel, Henri Léon Lebesgue, Johann Radon dan Maurice Fréchet, antara lain. Aplikasi utama pada langkah-langkah fondasi Léon Lebesgue integral, dalam Andrey Kolmogorov’s axiomatisation teori probabilitas dan teori ergodic. Dalam teori integrasi, yang menetapkan ukuran memungkinkan seseorang untuk menentukan integral di ruang yang lebih umum dari himpunan bagian dari ruang Euclides; apalagi, integral sehubungan dengan mengukur Léon Lebesgue pada ruang Euclides lebih umum dan memiliki teori yang lebih kaya dari pendahulunya, integral Riemann . Teori probabilitas menganggap langkah-langkah yang menetapkan kepada seluruh mengatur ukuran 1, dan mempertimbangkan subset diukur menjadi peristiwa yang probabilitas diberikan oleh ukuran. Teori Ergodic menganggap langkah-langkah yang invarian di bawah, atau muncul secara alami dari, sebuah sistem dinamik.

Teori Transportasi

Ukuran